Matematiksel Modelleme Nedir?

27.07.2022 

Matematiksel Modelleme Nedir?

Matematik yalnızca okulda gördüğümüz derslerden ibaret değildir. Hayatımızın her alanında matematikle karşılaşırız. Kimi zaman bunu net bir şekilde görebilirken kimi zaman ise farkında bile olmayabiliriz. Kitaplarda gördüğümüz matematiğin teorisini bilmemize rağmen öğrenmek için doğaya bakmamız gerekmektedir. Bunun sebebi ise tüm bilim dallarının temelinin doğa olmasıdır. Matematik de bir bilim dalı olduğu için doğada görmemiz gerekmektedir. Gerçek hayatta çok dikkat etmediğinizde matematiği fark etmeniz zor olabilir. Ayrıntılı ve daha sorgulayan gözlerle çevrenize baktığınızda daha net anlayacaksınız. Matematiksel modelleme de matematiği doğada daha iyi anlamlandırabileceğiniz terimlerden biridir. Bu terimi daha ayrıntılı bir şekilde ele alalım.
Gerçek hayatta bir kitabı açar ve o kitapta yer alan bir matematik problemini çözebiliriz. Bu sorunun bir matematik problemi olduğunu anlarız. Fakat gerçek hayatta böyle değildir. Hayatımızda çıkan ani bir problemi çözerken bu sorunun derinine inmeyiz. Aslında dikkat edersek çözüm yolumuzun matematik sezinlemelerine dayandığını fark ederiz. Bunun en basit örneklerinden biri yol tarifleridir. Evden iş yerine gitmek için birçok yol vardır. Bizler bu yollardan en kestirme olanı seçmeye çalışırız. İşe geç kalmamak, sıcak yatağımızda biraz daha uyumak için seçtiğimiz bir yol mutlaka vardır. Seçtiğimiz yollar aslında kitaplarda gördüğümüz A noktasından B noktasına gitme problemlerinin uygulamalı halidir diyebiliriz.
Matematiksel modelleme kavramı terimsel ifade ile en az iki değişkenin birbirleriyle olan ilişkisini analiz etmek için kullanılmaktadır. Yalnızca doğada değil aslında evrenin her bölümünde matematiksel modelleme kullanılmaktadır. Bu sayede doğal, fiziksel veya sosyal bir olay daha kolay anlaşılmaktadır. Günlük olayların yanı sıra matematiksel modelleme ile geleceğe dair hipotez, teori ya da tahminde bulunmak mümkündür.
Matematiksel modelleme teorik bir kavram olarak bilinse de günlük yaşamın çoğu anı bu modelleme ile yönetilmektedir. Çocukluğumuzda mutlaka matematik gerçek hayatta nerede lazım olacak diye düşünmüşüzdür. Aslına bakılırsa matematiksel modelleme tam da bunun karşılığıdır. Matematiksel modelleme ile bir sistemin anlamlandırılması mümkün olur. Bu anlamlandırma matematiksel kavramlar ve dil kullanılarak tanımlanır. Bu anlamlandırma yapılırken model geliştirme süreci yaşanır. Bu süreç matematiksel modelleme adını alır.
Matematiksel modeller doğa bilimleri, mühendislik bilimleri, sosyal bilimler gibi pek çok dala ayrılmaktadır. Bu modeller daha çok alanında uzman kişiler tarafından kullanılmaktadır. Bu kişiler genellikle fizikçiler, mühendisler, analistler veya ekonoministlerdir. Bu kişiler sistemi anlamaya çalışırlar. Bu sebeple farklı bileşenlerin etkilerini incelerler. Yalnızca incelemekle de kalmazlar bir öngörüde de bulunabilirler.

Matematiksel Modelleme Nasıl Yapılır?

Matematiksel modelleme bir süreç sonucunda ortaya çıkmaktadır. Bu sürecin oluşabilmesi için ise sürecin elemanlarına hâkim olunması gerekmektedir. Bu elemanlar değişkenlerdir. Sürece başlarken önemli olan değişkenlere karar verilmesi gerekmektedir. Bir sonraki aşamada ise seçilen önemli değişkenler tanımlandırılır. Bu tanımlandırılmalar bağımlı ve bağımsız değişken şeklinde olmaktadır. Bazı değişkenler bağımsız olarak tanımlanırken bazıları bağımlı olarak tanımlanır. Bunu bir örnekle daha iyi açıklayabiliriz. Yüksek bir yerden bir topu yere fırlattığımızı düşünelim. Topun şekli, ağırlığı, attığımız yer, topun bırakılma zamanı, başlangıçtaki hızı bağımsız değişkendir. Tıpkı bir fizik problemi gibidir. Bağımlı değişkenler ise tahmin edebileceğiniz gibi başka bir değişkene bağımlıdır. Top örneğine bakıldığında yere düşme hızı, atılan yerden düşen yere kadar olan mesafe, yere çarptığı zaman bağımlı değişken olarak bilinmektedir. Bunun sebebi ise bir başka değişkene bağlı olarak değişmeleridir.

Matematiksel Modelleme Tekniği Nedir?

Matematiksel modelleme çeşitleri:
● Deneysel modelleme,
● Teorik modelleme,
● Simülasyon modelleme,
● Boyutsal analiz modelleme
biçimde dört farklı kısma ayrılır.

1. Gözlenebilen verilere dayalı olarak oluşturulan grafikleri matematiksel olarak ifade edilmesine deneysel modelleme adı verilir. Örnek olarak; dünyadaki sıcaklık artışının grafik ile gösterimi bir deneysel modellemedir.
2. Matematiksel modelin formüle edilmesinde, verilerden daha çok teoriye dayanan farklı problem çözme süreci isteyen modellemeye teorik modelleme adı verilir. Caddelerdeki yaya geçidi ihtiyaçlarının belirlenmesi bir teorik modelleme örneği olarak verilebilir.
3. Çoğunlukla matematiksel modeller ifade edilirken cebirsel semboller kullanılır. Bazı problemlerde çözümler, analitik olarak modellenemezler. Bu tür modellemelere simülasyon modeli adı verilir. Örnek olarak; türev kavramının bilgisayarda fiziksel anlamını verecek bir animasyon bir simülasyon modelidir.
4. Fiziğin temel özelliklerine dayalı şekilde oluşturulan modellere boyutsal analiz modeli denir. Bu tür modelleme, bilim ve teknolojide ilişkiyi şekillendirmede kullanılır. Örnek olarak; boyutu kullanarak hız ve alan arasındaki ilişkiyi temsil eden matematiksel ifadeyi bulma bir boyutsal analiz modeli olarak verilebilir.

Modelleme terimi, bütün modelleme süreçlerini açıklamasına karşın başlangıçta bir problemin matematiksel formülünü elde etme şeklinde daha sınırlı bir süreci açıklamak adına kullanılabilir. Matematiksel modelleme aşağıdaki süreçlerden oluşur.
● Modelleme süreci,
● Problemin analizi,
● Problem belirleme ve matematiksel ifade,
● Model analizi ve teknikleri.

Matematiksel Modelleme Ne İşe Yarar?

Matematiksel modelleme; Gerçeği matematiksel bir dille taklit etmeye yardım eder, işlem ve düşünce şekli meydana getirir. Modelleme matematiğin bilimsel bilgi üretme yöntemi olarak verilir.. Matematiksel modelleme gerçek yaşamda karşılaşılan durumların matematiksel olarak ifade edilmesine olanak tanır.

Cheng ve Borromeo-Ferri’nin Matematiksel Modelleme Süreçleri

1990’lı yıllara başında matematiksel modelleme sürecine yönelik çalışmalarda iki farklı hedefin benimsendiği görülmektedir. Bazı araştırmacılar (Biccard ve Wessels ; Schoenfeld gibi) süreçteki bilişsel aktiviteleri daha kapsamlı şekilde ele alırken, bazı araştırmacılar (Berry ve Houston; Berry ve Davies; Borromeo Ferri, Cheng; Galbraith ve Stillman gibi) ise bu bilişsel aktiviteler sayesinde bunlar arasındaki geçişleri de açıklamaya çalışmışlardır. Schoenfeld, matematiksel modelleme sürecini altı farklı temel basamakta ele alırken, temel bileşenlere yer vermemekte ve temel basamaklar arasındaki geçişlerden ziyade daha faza gerçekleşen bilişsel aktivitelere ve onların farklı özelliklerine değinmektedir.

Matematiksel Modelleme Aşamaları Nelerdir?

Matematiksel modellemenin 6 aşaması bulunmaktadır:
1) Problemi anlamak
2) Problemi basitleştirme
3) Matematikselleştirme
4) Matematiksel olarak çalışmak
5) Yorumlamak
6) Doğrulamak
Bu 6 aşama bir matematiksel modellemenin mümkün olması için gerekli adımlardır.
1. adım problemi anlama adımıdır. Öncelikle var olan bir problem bulunmalıdır. Günlük hayatta görebileceğimiz basit bir problem olabileceği gibi daha karmaşık problemler de olabilir. Yalnızca soru sormanız yeterlidir. Neden, nasıl, ne zaman, niçin gibi pek çok sorunun cevabını bulmak aslında süreci başlatmak için bir adımdır. Bu adımın olması için ise adımı başlatacak bir sorun gereklidir. Sorunun olması kadar bu sorunu anlamak da önemlidir.
Sürecin 2. adımı ise problemi basitleştirmektir. Zihnimiz karmaşık bir problemi çözümlemeye çalışırken zorlanır. Evimizden işimize giden pek çok yol vardır. Fakat biz genellikle en kısa ve sorunsuz yolu tercih ederiz. Düşündüğümüzde işe gitmek için yüzlerce yol vardır. Haritadan baktığımızda daha da fazla yol olduğunu görürüz. Burada yapmamız gereken yüzlerce yolu değil asıl problemi düşünmektir. İstediğimiz nedir? En kısa sürede işe varmak mı yoksa daha güvenli bir şekilde eve gitmek mi? Sorunu daha iyi anladığımızda cevabı da bulmamız bir o kadar kolaylaşacaktır. Bu sebeple matematik sorusu çözerken hocalarımız bizlere sıklıkla soruyu dikkatli okuyun demektedir.
Sürecin 3. adımı problemi matematikleştirmektir. Bu aşamada bildiklerimizi matematikselleştirmemiz gerekir. Örneğin, evimiz A noktası ve iş yerimiz B noktası, aradaki mesafe 1 km ve evden çıktığımızda saat 08.00, işe dakikada yürüdüğümüz yol ise 100 metre olsun. Bu demek oluyor ki aslında farklı bir açıdan düşünüldüğünde evden işe gitmemiz bir problemdir ve bu problem matematikselleştirilebilir.
Sürecin 4. adımı ise matematiksel olarak çalışma aşamasıdır. Evden işe gitmeyi düşünün. Bütün veriler elinizdeyken işe saat kaçta ulaşacağınızı öğrenebilirsiniz.
Sürecin 5. adımı ise yorumlamaktır. Yolun 1 km olduğunu ve 100 metreyi 1 dakikada yürüdüğümüzü biliyoruz. Yolun 10 dakika süreceğini söylemek çok doğru olacaktır.
Sürecin 6. adımı ise doğrulama adımıdır. Adından da anlaşılacağı üzere doğrulamak demektir ve tüm süreç boyunca ele aldığımız problemin sonucunun doğru olup olmadığını ispat eder ya da reddeder. Ev ve iş yeri örneğimize dönüldüğünde yolun 10 dakika sürüp sürmediğini kronometre kullanarak doğrulayabiliriz.
Bu aşamaları ev ve iş yeri gibi basit bir sorunda ele aldık. Fakat çevremizde görebileceğimiz çoğu sorunu düşündüğümüzde matematiksel modelleme ile ele almak mümkündür.

Matematiksel Model ve Matematiksel Modelleme Arasındaki Fark Nedir?

Matematiksel bir model geliştirme sürecine matematiksel modelleme denilmektedir. Matematiksel model sistemin ifade edilişi ile ilgilidir. Bu ifade işlemi matematiksel kavramlar ve dil kullanılarak yapılmaktadır. Matematiksel model geliştirme bir süreçtir ve bu sürecin ismi matematiksel modellemedir.

Matematiksel Modelleme Neden Önemlidir?

Matematiksel modelleme, çeşitli alanlardaki problemlerin çözümü için önemli bir araçtır. Matematiksel modellemenin önemini madde madde açıklayacak olursak:
• Problem tanımlama: Matematiksel modelleme, problemlerin tanımlanmasını ve anlaşılmasını kolaylaştırır.
• Seçeneklerin değerlendirilmesi: Matematiksel modelleme, çeşitli seçeneklerin değerlendirilmesine olanak tanımakla beraber aralarından en uygun seçeneğin belirlenmesine yardımcı olur.
• Verilerin analizi: Matematiksel modelleme, verilerin analizini ve sonuçların görselleştirilmesini kolaylaştırır.
• Gelecek tahminleri: Matematiksel modelleme, gelecekteki trendlerin ve olası sonuçların tahmin edilmesine olanak tanır.
• Optimizasyon: Matematiksel modelleme, verimlilik ve maliyeti en aza indirmek için optimizasyon problemlerinin çözümüne yardımcı olur.
• Karar verme: Matematiksel modelleme, karar verme sürecinde karar verenlere yardımcı olur ve karar vermenin doğru ve adaletli bir şekilde yapılmasına yardımcı olur.

Bu belirtmiş olduğumuz nedenlerden dolayı, matematiksel modelleme, çeşitli alanlardaki problemlerin çözümünde oldukça önemli bir rol oynar ve de bununla birlikte önemli sonuçların elde edilmesine de yardımcı olur.

Matematiksel Modelleme Örnekleri Nelerdir?

Matematiksel modelleme matematiğin gerçek hayattaki pratiğidir. Okulda bir öğrenci matematik dersi alırken ondan istenen yalnızca hesaplama yapmayı öğrenmesi değildir. Okullardaki matematik öğretiminin amacı aslında farklı düşünme biçimleri kazandırma, problemlere matematiksel bir anlam katmalarını hedeflemektir. Öğrencilerin matematik sayesinde dünyayı daha iyi anlamlandıracağı düşünülmektedir. Matematiksel modelleme örnekleri aramak için çok da uzaklara bakmamıza gerek yoktur. Evden işe gitmek ve yol sürecini ele almıştık. Buradaki ev ve iş yerini farklı konumlar olarak ele alabiliriz. Sabit bir konum yerine hareket halinde nesneleri kullanabiliriz. Örneğin, Bursa’dan İzmir’e gitmek. Aslında matematiğin kendisidir. Varış saati, hız, yol gibi kavramlar test kitaplarında gördüğümüz sorularda da yer almaktadır. Esnafların iş yetiştirme süreleri de farklı bir matematiksel modelleme örneğidir.
Bu kavram ile hayatı anlamlandırıken çok daha kolaylık yaşarız. Günlük okuduğumuz kitap sayısından, seçtiğimiz kestirme yollardan, gün içerisindeki çalışma saatlerimize hatta ortalama içtiğimiz su miktarına kadar matematik her yerdedir.